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cignoni@iei.pi.cnr.it |
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http://vcg.iei.pi.cnr.it/~cignoni |
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Punti e vettori sono due cose diverse |
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Basi e sistemi di riferimento
(coordinate systems and frames) |
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Coordinate omogenee |
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Trasformazioni Affini |
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Punto |
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Entità il cui unico attributo è la sua posizione
rispetto ad un sistema di riferimento |
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Vettore |
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Entità i cui attributi sono lunghezza direzione |
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Spesso si visualizza un punto come un vettore
dall’origine a quel punto: pericoloso. Sono oggetti diversi. |
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Spazio dove ci sono due entità |
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scalari |
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vettori |
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Operazioni: |
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Somma e moltiplicazione tra scalari |
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Somma vettore-vettore |
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Moltiplicazione scalare-vettore |
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Spazio dove ci sono tre entità |
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Scalari, |
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vettori, |
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punti |
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Operazioni: |
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Quelle di uno spazio vettoriale |
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Somma punto:vettore-> punto |
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Sottrazione punto:punto -> vettore |
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Rappresentazione parametrica di una linea |
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In uno spazio affine NON ci sono somma tra punti
e moltiplicazione tra scalare e punto |
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Somma affine |
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Somma affine |
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Generalizzata |
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Inviluppo convesso, l’insieme dei punti che
posso ottenere quando |
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Dot product o inner product, introduce il
concetto di misura |
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Ortogonalità |
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Magnitudo |
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Distanza tra punti |
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Angolo tra vettori |
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Dati tre punti P,Q,R non
allineati, si puo’ trovare i punti all’interno del triangolo PQR |
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In uno spazio vettoriale 3d si può rappresentare
univocamente un vettore w in termini di tre vettori linearmente
indipendenti; I tre vettori usati sono una base di quello spazio |
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Dati due vettori non paralleli u,v trovare un
vettore w tale che: |
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Siano |
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Le componenti di u,v in un particolare sitema di
coordinate, allora in quel sistema si definisce: |
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Nota il prodotto vettore è consistente con
l’orientamento della base del sistema di coordinate: |
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Se siamo in un sistema right-handed allora,
anche w segue la regola della mano destra: |
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Magnitudo: |
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Una base (tre vettori, linearmente indipendenti)
non basta per definire la posizione di un punto. |
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Occorre anche un punto di riferimento,
l’origine. |
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Un frame (sistema di riferimento) necessita
quindi di un punto di origine P0 e di una base. In esso si può
rappresentare univocamente un punto |
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Nota: bastano tre scalari per rappresentare un
punto, come per un vettore… |
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In uno spazio vettoriale, date due basi. |
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Esprimiamo una in termini dell’altra: |
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Questo definisce la matrice 3x3 M di cambiamento
di base |
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Dato un vettore w |
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Ne ottengo la sua rappresentazione nell’altro
sistema di coordinate usando la matrice M |
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Nota che si sta parlando di vettori e non di
punti |
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Questi cambi di base lasciano l’origine immutata
(cambiano vettori) |
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In altre parole rappresentano solo rotazioni e
scalature. |
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Un cambio di sistema di riferimento coinvolge
anche un cambio del punto di origine. |
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Per definire un frame bastano tre vettori ed un
punto. |
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Si dice che un punto P è rappresentato dalla
matrice colonna p |
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E un vettore w è rappresentato dalla matrice
colonna a |
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Dati due sistemi di riferimento. |
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Esprimiamo uno in termini dell’altro: |
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Questo definisce la matrice 4x4 di cambiamento
di frame |
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La matrice di
cambiamento
di frame |
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Date le due rappresentazioni a,b in coordinate
omogenee in differenti frame (sia di un vettore che di un punto), vale: |
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Funzioni che prendono un punto (o un vettore) e
lo mappano in un altro punto (o vettore) |
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Lavorando in coord omogenee |
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Ci interessano trasformazioni che siano lineari |
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Consideriamo lo spazio 4D delle coordinate
omogenee |
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Ogni trasformazione lineare nello spazio 4d
trasforma la rappresentazione di un dato punto (vettore) in un’altra
rappresentazione di quel punto (vettore) |
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quindi può sempre essere scritta in termini
delle due rappresentazioni |
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v=Au |
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Se A è non singolare una trasf affine
corrisponde ad un cambio di coordinate |
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In coordinate omogenee la matrice A deve anche
lasciare immutata la quarta componente della rappresentazione |
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Notare che se u è un vettore solo 9 elementi di
A sono usati nella trasformazione |
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La quarta colonna corrisponde alla quarta riga
della matrice di cambiamento di frame, che conteneva il nuovo punto di
origine del frame (che chiaramente non serve se si parla di vettori) |
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Preservano le linee |
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Consideriamo una linea espressa nella forma
parametrica |
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Consideriamone la sua rapp. in coordinate
omogenee |
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A è una trasformazione affine |
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Considerando che una trasformazione affine puo’
essere pensata come un cambio di frame, come è fatta una matrice T che
trasforma un punto spostandolo di un certo vettore Q? |
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