Note
Struttura
Costruzione di Interfacce
Lezione 9
Rasterizzazione
cignoni@iei.pi.cnr.it
http://vcg.iei.pi.cnr.it/~cignoni
Oggi parleremo di…
Algoritmi raster 2D
La scan-conversion di linee
Algoritmo di Bresenham per segmenti
Rasterizzazione di poligoni
Rasterizzazione di segmenti
L’algoritmo di rasterizzazione di un segmento di retta deve calcolare le coordinate dei pixel che giacciono sulla linea ideale o che sono il più vicino possibile ad essa
Rasterizzazione di segmenti
Vogliamo avere la sequenza di pixel che
approssima al meglio il segmento
e quindi
sia il più in linea retta possibile
Rasterizzazione di segmenti
Consideriamo un’approssimazione della retta larga un pixel
Per coefficienti angolari |m|£1 la rasterizzazione conterrà un pixel per ogni colonna
Rasterizzazione di segmenti
Consideriamo un’approssimazione della retta larga un pixel
Per coefficienti |m|>1 conterrà un pixel per ogni riga
Noi considereremo solo il caso di m£1: gli algoritmi sviluppati in questo caso possono essere facilmente estesi agli altri
Algoritmo analitico
La funzione analitica che rappresenta la retta è
Algoritmo analitico
Vogliamo rasterizzare il segmento che va dal punto P0 di coordinate (x0,y0) al punto P1 di coordinate (x1,y1)
Entrambi i punti hanno coordinate intere
Algoritmo analitico
1. Partendo dal pixel con coordinata x minima x0:
2.1 Incrementare x a passo 1
2.2 "xi calcolare yi come mxi + B
2.3 Arrotondare quindi yi
Algoritmo analitico
In questa maniera si seleziona sempre il pixel che è più vicino alla linea ideale, quello cioè che ha distanza minima dalla linea
Per identificare ogni pixel si devono fare 3 operazioni: un’addizione, una moltiplicazione ed un arrotondamento
Algoritmo DDA
Si può eliminare la moltiplicazione usando una tecnica incrementale, che consiste nel calcolare un punto della retta sulla base del punto precedente
L’algoritmo che si ottiene prende il nome di algoritmo DDA (digital differential analyzer)
Algoritmo DDA
Notando che
Algoritmo DDA
Questo vale per tutti i punti della linea:
Ad ogni passo si deve fare una operazione di arrotondamento e le variabili utilizzate (e quindi l’aritmetica) sono reali
Usare aritmetica reale vuol dire introdurre errori di arrotondamento
Algoritmo DDA
Algoritmo di Bresenham
Alla base dell’algoritmo di Bresenham (detto anche algoritmo del punto di mezzo) c’è il tentativo di usare solo operazioni in aritmetica intera
Algoritmo di Bresenham
Alla base dell’algoritmo di Bresenham c’è l’idea di usare solo aritmetica intera
L’ultimo pixel facente parte della nostra rasterizzazione è il pixel P di coordinate (xp, yp)
Algoritmo di Bresenham
Il prossimo pixel della rasterizzazione sarà o quello immediatamente a destra di P (E, per east pixel) o quello in alto a destra (NE, per north-east pixel)
Algoritmo di Bresenham
Chiamiamo Q il punto in cui la linea da convertire interseca la colonna x = xp + 1: sceglieremo come prossimo pixel quello, tra E e NE, che minimizza la distanza da Q
Algoritmo di Bresenham
Detto M il punto di mezzo del segmento E-NE, dobbiamo scegliere il punto che sta dalla stessa parte di Q rispetto ad M
Dobbiamo quindi calcolare da che parte di M sta Q
Algoritmo di Bresenham
Dobbiamo calcolare da che parte di M sta Q
Come facciamo?
Conviene utilizzare la forma implicita dell’equazione della retta:
Algoritmo di Bresenham
Poiché
m = dy/dx
dx = x1 - x0
dy = y1 - y0
la forma esplicita si può riscrivere
Algoritmo di Bresenham
Quindi
con
Algoritmo di Bresenham
La funzione F:
vale 0 per tutti i punti della retta
assume valori positivi sotto la retta
assume valori negativi sopra la retta
E’ chiaro che F(Q)=0
Algoritmo di Bresenham
A questo punto una maniera semplice per decidere se scegliere E o NE, consiste nel calcolare
e vederne il segno
Algoritmo di Bresenham
Poiché la nostra decisione si basa sul segno di F(M), chiamiamo questa variabile variabile di decisione d
Quindi
Algoritmo di Bresenham
d < 0
M sta sopra la retta
Scegliamo E come prossimo pixel della rasterizzazione
Algoritmo di Bresenham
d > 0
M sta sotto la retta
Scegliamo NE come prossimo pixel della rasterizzazione
Algoritmo di Bresenham
d = 0
M sta sulla retta (QºM)
Scegliamo come prossimo pixel della rasterizzazione uno qualsiasi dei due
Diciamo che scegliamo E
Algoritmo di Bresenham
Se voglio che anche il valore di d sia costruito in maniera incrementale mi devo chiedere qual è il prossimo M, e quindi quanto vale d, al prossimo passo (sulla prossima colonna) sulla base della scelta fatta a questo passo
Algoritmo di Bresenham
Se l’ultimo pixel selezionato è stato E
Algoritmo di Bresenham
Se l’ultimo pixel selezionato è stato E
poiché
Algoritmo di Bresenham
Se l’ultimo pixel selezionato è stato E
poiché
sottraendo si ha
Algoritmo di Bresenham
L’incremento da aggiungere a d dopo aver scelto E lo chiamiamo DE
Questo è un risultato generico e vale per ogni passo della rasterizzazione
Algoritmo di Bresenham
Se invece l’ultimo pixel selezionato è stato NE
Algoritmo di Bresenham
Se invece l’ultimo pixel selezionato è stato NE
e
Algoritmo di Bresenham
Se invece l’ultimo pixel selezionato è stato NE
e
da cui
Algoritmo di Bresenham
Cosa abbiamo quindi costruito?
Un algoritmo che
ad ogni passo sceglie il prossimo pixel tra due possibili candidati basandosi sul valore corrente di una variabile (detta di decisione)
ricalcola il valore della variabile di decisione incrementalmente aggiungendo al suo valore corrente una quantità fissa predefinita (DE o DNE)
Algoritmo di Bresenham
A questo punto ci serve solo un valore di inizializzazione della variabile d
Il valore iniziale è
Algoritmo di Bresenham
A questo punto ci serve solo un valore di inizializzazione della variabile d
Il valore iniziale è
(x0, y0) appartiene alla retta e F(x0, y0) = 0
Algoritmo di Bresenham
Rasterizzazione di poligoni
Vogliamo un algoritmo generico capace di rasterizzare poligoni di qualunque tipo:
Convesso
Rasterizzazione di poligoni
Vogliamo un algoritmo generico capace di rasterizzare poligoni di qualunque tipo:
Convesso
Concavo
Rasterizzazione di poligoni
Vogliamo un algoritmo generico capace di rasterizzare poligoni di qualunque tipo:
Convesso
Concavo
Intrecciato
Rasterizzazione di poligoni
Vogliamo un algoritmo generico capace di rasterizzare poligoni di qualunque tipo:
Convesso
Concavo
Intrecciato
Contorni multipli
Rasterizzazione di poligoni
L’algoritmo che vedremo ha queste caratteristiche
Per ottenere questo risultato si ricavano una dopo l’altra le span di pixel che stanno dentro il poligono
I punti estremi delle span sono calcolati per mezzo di un algoritmo incrementale, simile a quello visto per i segmenti
Rasterizzazione di poligoni
L’algoritmo di filling consiste nella soluzione di due problemi successivi:
Rasterizzare i contorni del poligono
Rasterizzare l’interno basandosi sulla rasterizzazione dei contorni
I due passi possono essere eseguiti anche non in successione stretta
I contorni
La maniera più immediata di calcolare le intersezioni è utilizzare l’algoritmo di scan-conversion delle linee su ogni spigolo del poligono
I contorni
L’algoritmo che consideriamo lavora invece incrementalmente sulle scan-line
Una volta operato filling del poligono su una scan-line (identificati i pixel della scan-line che appartengono al poligono) adopera le informazioni trovate per aggiornare incrementalmente le intersezioni e fare filling sulla scan-line successiva
I contorni
L’operazione di filling di una singola scan-line si svolge in 3 passi:
Trovare le intersezioni della scan-line con tutti gli spigoli del poligono
Ordinare le intersezioni sulla coordinata x
Selezionare tutti i pixel, tra coppie di intersezioni, che sono interni al poligono, usando per la determinazione di quali pixel sono interni, la regola odd-parity
Regola odd-parity
Si attiva un bit detto di parità che può assumere valore pari o dispari
La parità è inizialmente pari, ogni intersezione cambia il bit di parità, si disegnano i pixel quando la parità è dispari, non si disegnano quando la parità è pari
Interno/esterno
Prima di passare ad analizzare i problemi di intersezione e sorting, vediamo come si definisce, in tutti i casi particolari che possono sorgere, se un pixel è interno o meno al poligono
I casi da prendere in considerazione sono 4
Caso 1
Data un’intersezione con un valore generico della x razionale, come determino quale dei due pixel sui lati dell’intersezione è quello cercato?
Se stiamo incontrando un’intersezione provenendo da dentro il poligono (il parity bit è dispari) arrotondiamo all’intero minore per rimanere dentro
Se siamo fuori dal poligono (il parity bit è pari) arrotondiamo all’intero maggiore per entrare dentro
Caso 1
Se stiamo incontrando un’intersezione provenendo da dentro il poligono (il parity bit è dispari) arrotondiamo all’intero minore per rimanere dentro
Caso 1
Se stiamo incontrando un’intersezione provenendo da dentro il poligono (il parity bit è dispari) arrotondiamo all’intero minore per rimanere dentro
Se siamo fuori dal poligono (il parity bit è pari) arrotondiamo all’intero maggiore per entrare dentro
Caso 2
Come tratto il caso speciale dell’intersezione a coordinate intere?
Per evitare conflitti di attribuzione di spigoli condivisi, si definisce che un’intersezione a coordinate intere all’estremo sinistro della span di pixel è interna al poligono, all’estremo destro è esterna
Caso 2
Per evitare conflitti di attribuzione di spigoli condivisi, si definisce che un’intersezione a coordinate intere all’estremo sinistro della span di pixel è interna al poligono, all’estremo destro è esterna
Caso 3
E se l’intersezione a coordinate intere riguarda un vertice?
Nel calcolo del parity bit, si considera solo il vertice ymin e non il vertice ymax
Caso 3
Nel calcolo del parity bit, si considera solo il vertice ymin e non il vertice ymax
Nella figura il vertice A è considerato solo come vertice ymin dello spigolo FA e non come vertice ymax dello spigolo AB
Caso 4
Come si tratta il caso speciale di vertici che definiscono uno spigolo orizzontale?
Basta considerare i vertici di una linea orizzontale come non influenti nel calcolo del parity bit e si ottiene automaticamente che i lati orizzontali in basso vengano disegnati e quelli in alto no
Caso 4
Basta considerare i vertici di una linea orizzontale come non influenti nel calcolo del parity bit e si ottiene automaticamente che i lati orizzontali in basso vengano disegnati e quelli in alto no
Le intersezioni
Per calcolare le intersezioni vogliamo evitare di fare un test che verifichi l’intersezione tra la scan-line ed ogni spigolo del poligono
Ci piacerebbe avere un metodo più furbo (efficiente)
Le intersezioni
Notando che molti spigoli che intersecano la scan-line i intersecano anche la scan-line i+1, si può utilizzare un approccio incrementale molto simile a quello dell’algoritmo di scan-conversion per le linee
Il valore dell’intersezione con la scan-line i mi serve per calcolarla al passo i+1
Le intersezioni
La differenza tra questo algoritmo e quello di rasterizzazione di segmenti consiste nel fatto che nel caso della rasterizzazione di linee devo selezionare il pixel più vicino alla linea ideale, mentre in questo caso devo tenere conto del dentro e del fuori e arrotondare per restare dentro il poligono
Le intersezioni
Conoscendo le intersezioni per una scan-line, quando passo alla scan-line successiva le intersezioni si ricalcoleranno con la formula
Dove
è il coefficiente angolare della linea-spigolo
Le intersezioni
Anziché utilizzare aritmetica reale per calcolare gli incrementi 1/m considero l’incremento come numero razionale, e uso il suo numeratore e il suo denominatore
Esempio
Linea-spigolo sinistra
Coefficiente angolare m>1
xmin=3
m=5/2
Esempio
La sequenza di valori della x sarà:
Esempio
Ad ogni iterazione quando la parte frazionaria eccede 1 si incrementa x (la parte intera) di 1 e si sottrae 1 dalla parte frazionaria muovendosi quindi di 1 pixel verso destra
Spigolo sinistro
Esempio
Le sequenze di valori delle variabili sono:
increment x
5 3
Esempio
Le sequenze di valori delle variabili sono:
increment x
5 3
7®2 4
Esempio
Le sequenze di valori delle variabili sono:
increment x
5 3
7®2 4
4 4
Esempio
Le sequenze di valori delle variabili sono:
increment x
5 3
7®2 4
4 4
6®1 5
Esempio
Le sequenze di valori delle variabili sono:
increment x
5 3
7®2 4
4 4
6®1 5
3 5
Esempio
Le sequenze di valori delle variabili sono:
increment x
5 3
7®2 4
4 4
6®1 5
3 5
5 5
Esempio
Il calcolo incrementale dei valori delle linee spigolo non avviene in un’unica soluzione ma deve essere interrotto salvando i valori calcolati al passo precedente
La struttura dati
Per far questo abbiamo necessità di una struttura dati adeguata che consenta di:
Trovare le intersezioni della scan-line con tutti gli spigoli del poligono
Ordinare le intersezioni sulla coordinata x
Selezionare tutti i pixel, tra coppie di intersezioni, che sono interni al poligono
La struttura dati
La struttura dati che utilizzeremo a questo scopo sarà una lista che chiamiamo
Active Edge Table (tabella degli spigoli attivi) nella quale inseriamo le informazioni a partire da un’altra struttura dati, la Edge Table (tabella degli spigoli)
Edge Table
La Edge Table viene costruita all’inizio dell’esecuzione dell’algoritmo e contiene tutte le informazioni necessarie per la rasterizzazione degli spigoli
E’ un array di liste, con tante celle per quante sono le scan-line dello schermo
Edge Table
Ogni elemento della lista contiene 4 campi
ymax
xmin
1/m
puntatore al prossimo
Edge Table
Si inseriscono elementi solo se nella scan-line c’è un punto di ymin
Edge Table
Edge Table
Edge Table
Active Edge Table
La Active Edge Table viene costruita e modificata copiando elementi della lista dalla Edge Table
Inizialmente sarà vuota
Active Edge Table
Non appena, scandendo la ET, si trova una cella non vuota la AET viene inizializzata e la procedura di rasterizzazione ha effettivo inizio
Active Edge Table
Nella AET il secondo valore non rappresenta xmin bensi’ il valore della x corrente da usare per la rasterizzazione
Active Edge Table
Algoritmo
Settare y al minimo y non vuoto della ET
Inizializzare la AET (vuota)
Ripetere, fino allo svuotamento di AET e ET:
Muovere dal bucket di ET al corrispondente di AET gli edge per cui ymin = y, quindi fare sorting su AET per x
Disegnare i pixel della scan-line pescando coppie di coordinate x dalla AET
Rimuovere dalla AET gli edge per cui ymax = y (quelli che non intersecano la prossima scan-line)
Incrementare y di 1
Per ogni edge non verticale nella AET, aggiornare x per il nuovo y
Active Edge Table
Active Edge Table
Active Edge Table
Active Edge Table