Note
Struttura
Costruzione di Interfacce
Lezione 10
Clipping e HSR
cignoni@iei.pi.cnr.it
http://vcg.iei.pi.cnr.it/~cignoni
Oggi parleremo di…
Clipping di segmenti
Algoritmo di Cohen-Sutherland
Clipping di poligoni
Algoritmo di Sutherland-Hodgman
Eliminazione linee nascoste
Clipping
Sino ad adesso abbiamo ignorato che lo schermo (la finestra dell’applicazione) fosse una superficie discreta ma di dimensione finita
Questo comporta la necessità di fare clipping delle primitive che si rasterizzano
Fare clipping significa identificare le porzioni della primitiva che sono visibili e quelle che non lo sono
Clipping
Il problema del clipping è genericamente risolvibile per qualunque superficie chiusa
A noi però interessa risolvere solo il problema di fare clipping su rettangoli, dato che le porzioni di schermo che l’applicazione gestisce sono rettangoli
Clipping di un punto
Un punto si trova all’interno del rettangolo di clipping se sono soddisfatte le 4 disuguaglianze:
Qualora una qualsiasi di queste disuguaglianze non valesse il punto è al di fuori del rettangolo di clipping
Clipping di un segmento
Per fare il clipping di un segmento, si considera la posizione dei suoi punti estremi:
Se i due punti sono entrambi dentro, l’intero segmento lo è
Se un punto è dentro e uno fuori il segmento interseca il rettangolo e si deve calcolare l’intersezione
Se entrambi i punti sono fuori dal rettangolo il segmento può o non può intersecare il rettangolo e si devono fare altri calcoli per determinare se le intersezioni ci sono, e se ci sono dove sono
Clipping di un segmento
Se i due punti sono entrambi dentro, l’intero segmento (AB) lo è
Clipping di un segmento
Se un punto è dentro e uno fuori il segmento (CD) interseca il rettangolo e si deve calcolare l’intersezione (D’)
Clipping di un segmento
Se entrambi i punti sono fuori dal rettangolo (EF, GH, IJ) il segmento può o non può intersecare il rettangolo e si devono fare altri calcoli per determinare se le intersezioni ci sono, e se ci sono dove sono
Clipping di un segmento
L’approccio più diretto alla soluzione del problema sarebbe quello di fare il calcolo delle intersezioni tra la retta su cui giace il segmento e le 4 rette su cui giacciono i lati del rettangolo di clipping
Clipping di un segmento
Una volta individuati i punti di intersezione verificare poi se essi appartengono effettivamente al segmento ed al lato (G¢ e H¢) oppure no (I¢ e J¢).
Clipping di un segmento
Questo calcolo si può facilmente compiere utilizzando l’equazione parametrica della retta:
Clipping di un segmento
Le rette si intersecano se, dopo aver risolto contemporaneamente i due insiemi di equazioni che descrivono il segmento ed il lato in tlato e tsegm i due valori rientrano entrambi nell’intervallo [0, 1]
Clipping di un segmento
Si dovrebbe inoltre verificare in anticipo se per caso le linee sono parallele prima di calcolare l’intersezione
Un algoritmo del genere funziona ma è costoso e quindi inefficiente
Algoritmo di Cohen-Sutherland
L’algoritmo di clipping di Cohen-Sutherland si basa su un approccio completamente diverso
La considerazione di base che si fa è che le rette che delimitano il rettangolo che definisce la regione di clipping suddividono il piano in nove regioni
Algoritmo di Cohen-Sutherland
La considerazione di base che si fa è che le rette che delimitano il rettangolo che definisce la regione di clipping suddividono il piano in nove regioni
Algoritmo di Cohen-Sutherland
Ad ogni regione viene associato un codice numerico di quattro cifre binarie
Algoritmo di Cohen-Sutherland
Il codice è formato da 4 bit, vero o falso:
bit 1 sopra l’edge in alto y > ymax
bit 2 sotto l’edge in basso y < ymin
bit 3 a dx dell’edge di dx x > xmax
bit 4 a sx dell’edge di sx x < xmin
Algoritmo di Cohen-Sutherland
Il codice è formato da 4 bit, vero o falso:
bit 1 sopra l’edge in alto y > ymax
bit 2 sotto l’edge in basso y < ymin
bit 3 a dx dell’edge di dx x > xmax
bit 4 a sx dell’edge di sx x < xmin
Algoritmo di Cohen-Sutherland
Il codice è formato da 4 bit, vero o falso:
bit 1 sopra l’edge in alto y > ymax
bit 2 sotto l’edge in basso y < ymin
bit 3 a dx dell’edge di dx x > xmax
bit 4 a sx dell’edge di sx x < xmin
Algoritmo di Cohen-Sutherland
Il codice è formato da 4 bit, vero o falso:
bit 1 sopra l’edge in alto y > ymax
bit 2 sotto l’edge in basso y < ymin
bit 3 a dx dell’edge di dx x > xmax
bit 4 a sx dell’edge di sx x < xmin
Algoritmo di Cohen-Sutherland
Il codice è formato da 4 bit, vero o falso:
bit 1 sopra l’edge in alto y > ymax
bit 2 sotto l’edge in basso y < ymin
bit 3 a dx dell’edge di dx x > xmax
bit 4 a sx dell’edge di sx x < xmin
Algoritmo di Cohen-Sutherland
Con queste premesse l’operazione di clipping si risolve con opportune codifiche e confronti tra codici numerici
Algoritmo di Cohen-Sutherland
Per fare il clipping di un segmento si codificano i suoi punti estremi sulla base della regione del piano a cui appartengono e poi si confrontano i due codici
Algoritmo di Cohen-Sutherland
Se il codice di entrambi i punti estremi è 0000, allora si può banalmente decidere che il segmento è interamente all’interno
Algoritmo di Cohen-Sutherland
Altrettanto banalmente si può decidere che un segmento è tutto all’esterno quando l’operazione di AND logico tra i codici dei due punti ha un risultato diverso da 0
Algoritmo di Cohen-Sutherland
In questo caso, infatti, entrambi i punti stanno in uno stesso semipiano (quello identificato dal bit a 1 del risultato) e quindi il segmento non interseca il rettangolo di clipping
Algoritmo di Cohen-Sutherland
Se il risultato dell’AND è invece 0000
Algoritmo di Cohen-Sutherland
Se il risultato dell’AND è invece 0000
si cerca quale dei due punti estremi giace fuori dal rettangolo (almeno uno lo è)
Algoritmo di Cohen-Sutherland
Se il risultato dell’AND è invece 0000
si cerca quale dei due punti estremi giace fuori dal rettangolo (almeno uno lo è)
si suddivide il segmento in due parti calcolando l’intersezione del segmento con i bordi del rettangolo
Algoritmo di Cohen-Sutherland
Se il risultato dell’AND è invece 0000
si cerca quale dei due punti estremi giace fuori dal rettangolo (almeno uno lo è)
si suddivide il segmento in due parti calcolando l’intersezione del segmento con i bordi del rettangolo
una si scarta (poiché giace fuori dal rettangolo) e si itera il procedimento
Algoritmo di Cohen-Sutherland
Se il risultato dell’AND è invece 0000
si cerca quale dei due punti estremi giace fuori dal rettangolo (almeno uno lo è)
si suddivide il segmento in due parti calcolando l’intersezione del segmento con i bordi del rettangolo
una si scarta (poiché giace fuori dal rettangolo) e si itera il procedimento
Algoritmo di Cohen-Sutherland
Se il risultato dell’AND è invece 0000
si cerca quale dei due punti estremi giace fuori dal rettangolo (almeno uno lo è)
si suddivide il segmento in due parti calcolando l’intersezione del segmento con i bordi del rettangolo
una si scarta (poiché giace fuori dal rettangolo) e si itera il procedimento
Clipping di poligoni
Clipping di poligoni
Fare clipping di un poligono è un’operazione più complessa che farlo di un segmento dato che i casi da trattare sono vari e diversi tra loro
Poligono convesso
Clipping di poligoni
Fare clipping di un poligono è un’operazione più complessa che farlo di un segmento dato che i casi da trattare sono vari e diversi tra loro
Poligono concavo che clippato si divide
Clipping di poligoni
Fare clipping di un poligono è un’operazione più complessa che farlo di un segmento dato che i casi da trattare sono vari e diversi tra loro
Poligono con molti spigoli esterni
Clipping di poligoni
L’approccio iniziale di soluzione potrebbe essere quello di confrontare ogni lato del poligono con le 4 rette che delimitano il rettangolo di clipping
Clipping di poligoni
Un approccio di questo tipo porta a compiere molte operazioni (costose quali i calcoli di intersezioni) di cui una gran parte possono essere inutili
Algoritmo di
Sutherland-Hodgman
L’idea alla base dell’algoritmo di Sutherland-Hodgman è applicare una strategia risolutiva del tipo divide et impera
Il problema viene così ricondotto a quello di calcolare il clipping di un poligono qualsiasi rispetto ad una retta
Algoritmo di
Sutherland-Hodgman
L’applicazione, in successione, della procedura alle 4 rette che definiscono il rettangolo di clipping avrà come risultato il clipping del poligono sul rettangolo
Algoritmo di
Sutherland-Hodgman
L’algoritmo riceve in ingresso una serie di vertici v1, v2,¼,vn che definiscono n spigoli: gli n-1 da vi a vi+1 e quello da vn a v1
Dopo aver fatto clipping su una retta ritorna in output un’altra serie di vertici che definiscono il poligono clippato
Algoritmo di
Sutherland-Hodgman
Il confronto si effettua scandendo il poligono in senso orario partendo dal vertice vn fino a v1 per poi tornare a vn
Per ogni passo si confronta la relazione esistente tra due vertici successivi e la retta di clipping
Per ogni caso i vertici indicati con   verranno inseriti nella lista di output
Algoritmo di
Sutherland-Hodgman
Le relazioni possono essere di 4 tipi:
Spigolo tutto interno
Algoritmo di
Sutherland-Hodgman
Le relazioni possono essere di 4 tipi:
Spigolo tutto interno
Spigolo uscente
Algoritmo di
Sutherland-Hodgman
Le relazioni possono essere di 4 tipi:
Spigolo tutto interno
Spigolo uscente
Spigolo tutto esterno
Algoritmo di
Sutherland-Hodgman
Le relazioni possono essere di 4 tipi:
Spigolo tutto interno
Spigolo uscente
Spigolo tutto esterno
Spigolo entrante
Esempio
Vediamo come opera l’algoritmo nel caso in figura
I vertici in nero sono gli originali, quelli in arancio sono originati dall’algoritmo di clipping sulla retta rossa
Esempio
Vediamo come opera l’algoritmo nel caso in figura
I vertici in nero sono gli originali, quelli in arancio sono originati dall’algoritmo di clipping sulla retta rossa
Esempio
Vediamo come opera l’algoritmo nel caso in figura
I vertici in nero sono gli originali, quelli in arancio sono originati dall’algoritmo di clipping sulla retta rossa
Esempio
Vediamo come opera l’algoritmo nel caso in figura
I vertici in nero sono gli originali, quelli in arancio sono originati dall’algoritmo di clipping sulla retta rossa
Esempio
Vediamo come opera l’algoritmo nel caso in figura
I vertici in nero sono gli originali, quelli in arancio sono originati dall’algoritmo di clipping sulla retta rossa
Esempio
Vediamo come opera l’algoritmo nel caso in figura
I vertici in nero sono gli originali, quelli in arancio sono originati dall’algoritmo di clipping sulla retta rossa
Algoritmo di
Sutherland-Hodgman
Una cosa da tenere di conto sarà l’eventualità che in output dall’algoritmo si possano ottenere dei lati che si sovrappongono ai bordi del rettangolo di clipping
Tali lati si possono generare quando un poligono si divide in due
È necessario allora aggiungere una fase di post-processing all’algoritmo per eliminarli
Rimozione delle
superfici nascoste
Rimozione delle
superfici nascoste
Il problema della rimozione delle superfici nascoste consiste nel determinare se un oggetto è visibile all’osservatore, oppure rimane oscurato da altri oggetti della scena
Non è quindi un problema legato solo alla disposizione degli oggetti nella scena, ma alla relazione che esiste tra oggetti e posizione dell’osservatore
Rimozione delle
superfici nascoste
Gli algoritmi per la rimozione delle superfici nascoste si possono dividere in due classi:
gli algoritmi object-space determinano, per ogni oggetto, quali parti dell’oggetto non sono oscurate da altri oggetti nella scena
gli algoritmi image-space determinano, per ogni pixel, quale è l’oggetto più vicino all’osservatore
Object-space
Data una scena tridimensionale composta da n poligoni piatti ed opachi, si può derivare un generico algoritmo di tipo object-space considerando gli oggetti a coppie
Object-space
Data una coppia di poligoni, ad esempio A e B, ci sono quattro casi da considerare:
A oscura B: visualizzeremo solo A
B oscura A: visualizzeremo solo B
A e B sono completamente visibili: visualizzeremo sia A che B
A e B si oscurano parzialmente l’un l’altro: dobbiamo calcolare le parti visibili di ciascun poligono
Object-space
Si prende uno dei n poligoni e lo si confronta con tutti i restanti n – 1
In questo modo si determina quale parte del poligono sarà visibile
Questo processo è ripetuto con gli altri poligoni
La complessità di questo approccio risulta di ordine O(n2)
L’approccio object-space è consigliabile solo quando gli oggetti nella scena sono pochi
Image-space
Per ogni pixel, si considera un raggio che parte dal centro di proiezione e passa per quel pixel
Il raggio è intersecato con ciascuno dei piani determinati dai k poligoni per determinare per quali piani il raggio attraversa un poligono
L‘intersezione più vicina al centro di proiezione è quella visibile
Image-space
L’operazione fondamentale dell’approccio image-space è il calcolo delle intersezioni dei raggi con i poligoni
Per un display w´h, questa operazione deve essere eseguita w·h·n volte, e la complessità risulta di ordine O(n), considerando quindi la risoluzione dello schermo una costante.
L’algoritmo depth sort
L’algoritmo depth sort
Consideriamo una scena composta da poligoni planari
L’algoritmo depth sort è una variante di un algoritmo ancora più semplice, chiamato algoritmo del pittore
Supponiamo che i poligoni siano ordinati sulla base della loro distanza dall’osservatore
L’algoritmo depth sort
Per rappresentare correttamente la scena, potremmo individuare la parte visibile del poligono più distante, e predisporla nel frame buffer
Se i poligoni sono solo due, questa operazione richiede l’esecuzione del clipping di un poligono rispetto all’altro
L’algoritmo depth sort
Un’altra possibilità è invece quella di seguire un approccio analogo a quello usato da un pittore:
Dipingere prima il poligono più lontano interamente, e poi dipingere il poligono più vicino, dipingendo sopra le parti del poligono più lontano non visibili all’osservatore
L’algoritmo depth sort
I problemi da risolvere per implementare questo approccio riguardano
l’ordinamento in profondità dei poligoni
la situazione di sovrapposizione tra poligoni
L’algoritmo depth sort
Devo ordinare i poligoni in base alla distanza della loro coordinata z massima dall’osservatore
Più precisamente, si considera l’estensione nella direzione z di ogni poligono
L’algoritmo depth sort
Se la profondità minima di ogni poligono è maggiore della profondità massima del poligono situato sul retro, possiamo visualizzare i poligoni partendo da quello più in profondità
L’algoritmo depth sort
E’ il caso del poligono A, che è situato dietro a tutti gli altri poligoni e può essere visualizzato per primo
L’algoritmo depth sort
E’ il caso del poligono A, che è situato dietro a tutti gli altri poligoni e può essere visualizzato per primo
L’algoritmo depth sort
Gli altri poligoni, tuttavia, non possono essere visualizzati basandosi solo sulla loro estensione lungo z
Se le estensioni z di due poligoni si sovrappongono, dobbiamo determinare un ordine per visualizzarli individualmente che permetta di ottenere l’immagine corretta
L’algoritmo depth sort
Il test più semplice consiste nel controllare le estensioni lungo x e lungo y
Se non c’è sovrapposizione in almeno una delle due direzioni, allora sicuramente nessuno dei due poligoni può oscurare l’altro, ed essi possono essere visualizzati in un ordine qualsiasi
L’algoritmo depth sort
Se anche questo test fallisce, può essere ancora possibile trovare un ordine corretto per visualizzare i poligoni, ad esempio se tutti i vertici di un poligono cadono dalla stessa parte del piano determinato dall’altro poligono
L’algoritmo depth sort
Rimangono da considerare due situazioni problematiche, per cui non esiste un ordine corretto di rappresentazione
L’algoritmo depth sort
La prima si verifica quando tre o più poligoni si sovrappongono ciclicamente
L’algoritmo depth sort
La seconda situazione si verifica invece quando un poligono penetra nell’altro
L’algoritmo depth sort
In entrambi i casi, è necessario spezzare i poligoni in corrispondenza dei segmenti di intersezione, e cercare l’ordine corretto di rappresentazione del nuovo insieme di poligoni
L’algoritmo z-buffer
L’algoritmo z-buffer
L’algoritmo z-buffer è un algoritmo di tipo image-space, basato su una logica molto semplice, e facile da implementare
Lavora in accoppiamento con l’algoritmo di scan conversion, e necessita, oltre alla memoria di display (frame buffer), anche di un’area di memoria in cui memorizzare le informazioni di profondità relative ad ogni pixel
Quest’area addizionale di memoria è chiamata z-buffer
L’algoritmo z-buffer
La rasterizzazione dei poligoni avviene subito dopo la proiezione sul piano di vista in NDC
Ad ogni pixel dello schermo possono coincidere 0, 1 o più primitive
Nel corso dell’esecuzione della scan conversion, possiamo pensare al processo di proiezione come al calcolo del colore da associare ad ogni punto di intersezione tra una retta che passa dal centro di proiezione ed un pixel e le primitive
L’algoritmo z-buffer
Nell’effettuare questa operazione, si può facilmente controllare se il punto di intersezione è visibile o meno (dall’osservatore), secondo la regola che stabilisce che
il punto è visibile se è il punto di intersezione più vicino al centro di proiezione
L’algoritmo z-buffer
Quando si esegue la scan conversion del poligono B, il suo colore apparirà sullo schermo poiché la distanza z1 è minore della distanza z2 relativa al poligono A
Al contrario, quando esegue la scan conversion del poligono A, il pixel che corrisponde al punto di intersezione non apparirà sul display
L’algoritmo z-buffer
Poiché si procede poligono per poligono, non è possibile disporre di tutte le informazioni relative agli altri poligoni
Dobbiamo disporre di una memoria, detta appunto z-buffer, che abbia la stessa risoluzione del frame buffer e con una profondità sufficiente per memorizzare la informazioni sulla risoluzione che si vuole ottenere per le distanze
Ogni elemento dello z-buffer è inizializzato al valore della distanza massima dal centro di proiezione (il back-clipping plane)
L’algoritmo z-buffer
Con questo approccio i poligoni possono essere rasterizzati in qualsiasi ordine (non è necessario alcun ordinamento preventivo dei poligoni in object-space, ovvero in 3D)
for y:=0 YMAX
 for x:=0 XMAX
  WritePixel(x,y,colore del background);
  WriteZ(x,y,0).
for ogni poligono
for ogni pixel nella proiezione del poligono
pz:= valore della z nel pixel di coordinate (x,y)
 if pz>= ReadZ(x,y) then
  WriteZ(x,y,pz)
   WritePixel(x,y,colore del poligono nel pixel di coordinate (x,y))
L’algoritmo z-buffer
L’algoritmo z-buffer
Se ripensiamo a come avviene la proiezione da 3 a 2 dimensioni, una volta trasformato il view frustum nel cubo in NDC possiamo pensare all’algoritmo di z-buffer come a quel metodo che anziché scartare la z al momento della proiezione la memorizza (nello z-buffer appunto) assieme all’informazione sul colore (nel frame buffer)
Eliminazione delle back face
Oltre alla rimozione delle superfici nascoste esistono metodi opzionali che consentono di eliminare dalla pipeline di rendering primitive che si può decidere che saranno comunque invisibili
Se un oggetto è rappresentato da un poliedro solido chiuso, le facce poligonali del poliedro delimitano completamente il volume del solido
Modelliamo i poligoni in maniera tale che le normali alle loro superfici siano tutte dirette verso l’esterno del poligono
Eliminazione delle back face
Se nessuna parte del poliedro viene tagliata dal front clipping plane:
le facce che hanno una normale che punta verso l’osservatore possono essere visibili
Eliminazione delle back face
Se nessuna parte del poliedro viene tagliata dal front clipping plane:
quelle con normale che punta via dall’osservatore sicuramente non lo sono
Eliminazione delle back face
Le facce sicuramente invisibili non vengono più considerate nelle fasi successive del processo di rendering
Eliminazione delle back face
Per determinare se un poligono deve essere eliminato, dobbiamo verificare se la sua normale è diretta o meno verso l’osservatore
Se indichiamo con q l’angolo tra la normale e l’osservatore, il poligono in esame definisce la parte anteriore di un oggetto se e solo se
-90° £ q £ 90°,
cos q  ³ 0
Invece di calcolare il coseno,
si usa il prodotto scalare
n·v ³ 0
Eliminazione delle back face
Questo procedimento (detto di solito back-face culling) consente, in media, di dimezzare il tempo necessario a fare il rendering degli oggetti solidi dato che, sempre in media, circa metà delle facce di un poliedro saranno back-facing e quindi il loro rendering sarebbe comunque inutile